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| 자유 Euclidean geometry | |||||
| 작성자 | 중사4서류찡 | 작성일 | 2013-06-06 14:04 | 조회수 | 76 |
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| 유클리드가 그의 저서 《기하학원본(Stoikheia)》에서 전개한 기하학. 고대 이집트에서 측량기술에 의해 얻은 도형에 관한 경험적 지식이 그리스로 전파되어 이론적으로 정리되고 체계화되어 기하학이 되었다. B.C. 300년경 유클리드는 이것을 집대성하여 《기하학원본》 전 13권을 펴냈다. 유클리드 기하학이란 본질적으로는 이 저서에 기술되어 있는 기하학을 말한다. 이것은 중·고등학교에서 학습하는 도형에 관한 성질을 주요 내용으로 하고 있으며 초등기하학이라고도 한다. 《기하학원본》은 약간의 명제를 공리로 가정하고 ol들로부터 논리적으로 옳은 추론에 의해 서만 얻은 명제를 정리라 했다. 이들 공리 중에는 제5공준(公準)이라고 하는 것이 있다. 즉 「한 직선이 다른 두 직선과 만날 때 어느 한쪽에 나타나는 두각을 합해서 180˚보다 작을 때는 그 두 직선을 어디까지 연장해도 합해서 180˚보다 작은 각이 있는 쪽에서 만나게 된다」. 이것은 중요한 공리로서 「삼각형의 내각의 합은 180˚이다」라는 명제나, 평행선의 공리라고 하는「직선 밖의 한 점을 지나 이 직선에 평행한 직선은 단 하나밖에 없다」고 하는 명제와 동치(同値)이며, 피타고라스의 정리도 이 공리가 없이는 증명할 수 없다. 따라서 제5공준은 그 진술·내용으로 보아 공리보다는 오히려 정리로 생각되므로 이 공준은 후세에 여러 가지 비판을 낳게 되었으며 오랫동안의 고투 끝에 19세기 전반에는 이 공리를 부정하는 기하학이 탄생했다. 즉「평면 위에서 직선 밖의 한점을 지나 이 직선과 만나지 않는 직선은 무수히 있다」고 가정해도 모순이 없는 기하학이 N. I. 로바체프스키, J. 볼리아이에 의해 발견되었다. 유클리드기하학은 비유클리드기하학이라고 하는 새로운 기하학에 대한 말로서, 평행성 공리를 만족시키는 기하학이란 의미를 가진다. 19세기 후반에는 사영(射影)기하학을 비롯하여 여러 가지 기하학이 발견됨에 따라 기하학이란 무엇인가 하는 것이 문제가 되었다. F. 클라인은 유명한 「에를랑겐 목록」(에를랑겐 대학에서 그의 연구계획을 설명한 강연)에서 이 문제에 답하기를 「한 공간 S와 그 위에 하나의 변환군(變換群) G가 주어졌을 때 S의 도형의 성질 중 G의 모든 변환에 불변인 것을 연구함으로써 하나의 기하학이 정해진다」고 했다. 이러한 생각에 따르면 유클리드기하학은 3차원 공간 과 그 위의 합동변환군(넓은 의미로는 닮음변화군)에 의해서 결정되는 기하학이라고 할 수 있다. |
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