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자유 1+1=2 증명
작성자	중위1엘프	작성일	2010-10-07 19:36	조회수	96
전 글의 정의된 덧셈을 이용하여 교환법칙, 결합법칙도 증명할 수 있다. 증명은 그리 간단치 않은데, 교환법칙을 어떻게 증명하는지 살펴보자. 모든 자연수 a, b에 대하여 a+b = b+a가 성립하는 것을 보이려면 쓸만한 공리는 PA5밖에 없다. 따라서, 모든 a에 대하여 a+1 = 1+a가 성립함을 보인 다음, a+b = b+a가 성립하는 b에 대하여 a+b' = b'+a가 성립함을 보이면 된다. 이렇게 하면, a+b = b+a를 만족하는 b들을 모아 만든 집합에 1이 포함되고 그 집합의 원소 b에 대해 b' 또한 포함되므로 PA5에 의해 이 집합은 자연수 전체의 집합과 같아진다. 따라서, 모든 자연수 b에 대해 a+b = b+a가 된다. 한 마디로 "수학적 귀납법"이다. 첫 번째 단계인, 모든 a에 대하여 a+1 = 1+a가 성립함을 보이는 방법도 역시 PA5를 이용한다. 집합 S를 a+1 = 1+a가 성립하는 a들을 모두 모은 것이라고 하면 우선 1+1 = 1+1은 당연히 성립하므로 1∈S이다. 그 다음 a∈S일 때, 덧셈의 정의에 의해 a'+1 = (a+1)+1 = (1+a)+1 = (1+a)' = 1+a' 이 되어 a' 또한 S의 원소가 된다. 그러면 PA5에 의해 집합 S는 자연수 전체의 집합과 같아지므로, 결국 모든 자연수 a에 대하여 a+1 = 1+a가 성립함이 증명되었다. 이번에는 모든 자연수 a에 대하여 a+b = b+a가 되는 b들을 모두 모은 것을 집합 T라고 하자. 우선 a+1 = 1+a이므로 1은 T의 원소이다. 다음으로 a+b' = b'+a가 모든 자연수 a에 대하여 성립함을 보여야 한다. 고정된 자연수 b'에 대하여 a+b' = b'+a가 되는 a들을 모두 모은 것을 집합 Sb'이라고 하자. 1+b' = b'+1이므로 1∈Sb'이다. a∈Sb'일 때, a'+b' = (a'+b)' (덧셈의 정의) = (b+a')' (b∈T이므로 a'+b = b+a') = ((b+a)')' (덧셈의 정의) = ((a+b)')' (b∈T이므로 a+b = b+a) = (a+b')' (덧셈의 정의) = (b'+a)' (a∈Sb'이므로 a+b' = b'+a)) = b'+a' (덧셈의 정의) 이므로 a'∈Sb'이 되고, 따라서 Sb'은 PA5에 의해 자연수 전체의 집합과 같다. 그러면 모든 자연수 a에 대하여 a+b' = b'+a가 성립하므로 b'∈T이고 다시 PA5에 의해 T는 자연수 전체의 집합이 된다. 이것은 모든 자연수 b가 모든 자연수 a에 대하여 a+b = b+a를 만족한다는 뜻이므로 결국 교환법칙이 증명되었다. 한편 덧셈과 비슷하게 곱셈은 다음과 같이 정의할 수 있는데, a * 1 := a ab' := ab + a 이 정의를 이용하면 곱셈에 대한 교환법칙, 결합법칙, 그리고 분배법칙까지 모두 증명할 수 있다.