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| 자유 1+1=2 증명 | |||||
| 작성자 | 중위1엘프 | 작성일 | 2010-10-07 19:32 | 조회수 | 47 |
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| 화이트헤드(Whitehead)와 러셀(Russell)이 그들의 대작 <수학 원리(Principia Mathematica)>에서 "1+1=2"라는 당연하기 짝이 없는 사실을 굳이 증명하려 한 것은, 수학이라는 학문의 논리적인 기초를 확립하려는 시도에서 나온 것이었다. 그들이 보이고자 한 것은, 적절한 공리계가 주어지면 그로부터 우리가 알고 있던 모든 수학 지식이 다 논리적으로 유도될 수 있다는 일반적인 원리(principle)였다. 그리고 그 가운데 대표적인 것이 바로 "1+1=2"였던 것이다. 따라서, 이러한 맥락을 외면하고 그저 "1+1=2의 놀라운(?) 증명법"만을 기대하는 것은 러셀의 의도를 전혀 잘못 이해한 것이 아닐 수 없다. 이런 맥락 아래 "1+1=2"를 증명하여 보자. 앞서도 얘기하였지만, 이 증명은 기발하기는 커녕 대단히 형식적이고 무미건조해서 지루하기까지 하다. 우선 이것을 증명하기 위해서는 그 출발점이 되는 공리 체계가 필요하다."Principia Mathematica"에서 사용한 공리는 자연수에 대한 공리 체계인 "페아노 공리계(Peano Axioms)"이다. 이것은 이탈리아 수학자 주제페 페아노(Giuseppe Peano)가 만든 것으로, 다음의 다섯 가지 공리로 이루어져 있다. 말하자면, 이 공리계는 "자연수란 무엇인가"에 대한 답이라고 할 수 있다. PA1: 1은 자연수이다. PA2: 모든 자연수 n은 그 다음 수 n'을 갖는다. PA3: 1은 어떤 자연수의 그 다음 수도 아니다. 즉, 모든 자연수 n에 대해 1≠n'이다. PA4: 두 자연수의 그 다음 수들이 같다면, 원래의 두 수는 같다. 즉, a'=b'이면 a=b이다. PA5: 어떤 자연수들의 집합이 1을 포함하고, 그 집합의 모든 원소에 대해 그 다음 수를 포함하면, 그 집합은 자연수 전체의 집합이다. 공리가 "증명하지 않고 옳다고 인정하는 명제"인 것처럼 용어들 가운데도 "정의하지 않고 사용하는 용어"가 필요한데, 이것들을 "무정의 용어"라고 하며, 이 공리계에서는 "1", "그 다음 수"가 무정의 용어로 쓰인다. 우리가 알고 있는 것은 이 공리들과 몇 개의 무정의 용어들 뿐이므로, "1+1=2"를 증명하려면 무엇보다 먼저 "+"와 "2"가 정의되어야 한다. 일단 "2"를 정의하는 것은 간단하다. 2:=1', 즉 1의 그 다음 수로 정의하면 되니까. 여기서 기호 :=는 좌변이 우변과 같이 정의된다는 뜻으로 사용된다. 하는 김에 더 해 보면, 3:=2', 4:=3', 이런 식으로 모든 자연수에 이름을 붙일 수 있다. 다음으로 "+", 즉 "덧셈"을 정의하자. 덧셈을 정의하는 방법은 어렸을 때 손가락 셈하던 것을 흉내내면 된다. 예를 들어, "5+3=8"을 아이들이 계산하는 방법은 우선 손가락 다섯 개를 꼽고, 그 다음 손가락을 꼽는 과정을 세 번 반복하면 된다. 따라서, 두 자연수 a와 b에 대해 두 수의 덧셈 a+b는 우선 a를 놓고, 그 다음 수를 찾는 과정을 b번 반복한 것으로 정의한다. 이것을 기호로 나타내면, a+b : a → a' → (a')' → ((a')')' → ... → (...((a')')'...)' 이 된다. 그런데 이런 식으로 "b번 반복한다"는 것은 페아노 공리계에 없는 용어이므로, 이 과정 자체를 공리계에 맞는 용어들로 번역하여야 한다. 그러기 위해서는, "그 다음 수를 찾는 과정을 b-1 번 반복한 결과"의 그 다음 수를 찾는 것으로 하여 a+b := (a+(b-1))' 라는 재귀적 표현을 이용하면 되는데, 여기서 문제는 "b-1"이라는 뺄셈이다. 덧셈도 정의되지 않았는데 뺄셈이라니! 따라서, 뺄셈 대신 c'=b인 c를 사용하면 되는데, PA3에 의해 c'=1인 c는 존재하지 않으므로 이 경우는 따로 a+1 := a' 으로 정의하고, b가 1이 아닌 경우는 PA2에 의해 c'=b인 c가 존재하고 PA4에 의해 이러한 c가 유일하므로, a+b = a+c' := (a+c)' 으로 정의한다. 이 정의를 이용하여 우리는 덧셈을 자유롭게 할 수 있다. 앞서 들었던 예인 "5+3=8"의 경우, 3=2'이므로 5+3 = 5+2' = (5+2)' 이고, 2=1'이므로 5+2 = 5+1' = (5+1)' 이며, 정의에 의해 5+1=5'=6이므로 결국 5+3 = ((5')')' = (6')' = 7' = 8 이 된다. 사실 우리가 원하는 "1+1=2"의 증명은 훨씬 쉽다. 정의에 의해 1+1 = 1'이고 2=1'이니까. |
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